Op de site van de gemeente Eindhoven lezen we dat geen kapvergunning is vereist indien:

Bomen in tuinen of erven behorende bij woningen, tenzij de boom wordt vermeld op een door het college van burgemeester en wethouders vastgestelde inventarisatielijst waardevolle bomen en/of de tuin waarin de te kappen boom staat,gelegen is in een gebied in de stad dat is gekwalificeerd als “Stad, groen beeldbepalend” (dit zijn stedelijke gebieden met een uitgesproken groen karakter die bovendien aansluiten bij de hoofdgroenstructuur en deze daardoor versterken).

De genoemde inventarisatielijst is hier te vinden.

Een verleende kapvergunning wordt eerst gepubliceerd. Belanghebbenden kunnen binnen 6 weken na de publicatie een bezwaarschrift indienen. Gedurende deze termijn mag u de boom niet kappen. Daarna kunt u van de vergunning gebruik maken. Zowel tegen een verleende als een geweigerde kapvergunning kan bezwaar worden gemaakt. Deze kan worden ingediend bij:

Wordt binnen deze periode van 6 weken een bezwaarschrift ingediend, dan mag de vergunninghouder niet kappen tot 6 weken nadat het college van burgemeester en wethouders op het bezwaar heeft beslist.
Als u een spoedeisend belang heeft, dan kunt u een verzoek om voorlopige voorziening indienen bij de Voorzieningenrechter van de rechtbank, sector Bestuursrecht, Postbus 90125, 5200 MA ’s-Hertogenbosch. Totdat op dit verzoek uitspraak is gedaan, mag geen gebruik van de vergunning worden gemaakt.
Van een kapvergunning mag voorts geen gebruik worden gemaakt totdat de bouwvergunning, die vereist is voor het uitvoeren van de bouwwerkzaamheden waarvoor de boom moet worden gekapt, is verleend en de termijn waarbinnen hiertegen bezwaar kan worden gemaakt is verstreken, dan wel door het college van burgemeester en wethouders op bezwaren tegen het besluit tot het verlenen van de bouwvergunning is beslist. Het rooien moet plaatsvinden binnen één jaar na het onherroepelijk worden van deze kapvergunning. Na dit tijdstip mag u er geen gebruik meer van maken en moet u opnieuw een aanvraag indienen.